3．1.2 共面向量定理 [学习目标] 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．知识点二 共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得 p＝xa＋yb，即向量 p 可以由两个不共线的向量 a，b 线性表示．知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x、y、z 使得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x、y、z 满足 x＋y＋z＝1，则 A 、 B 、 C 、 D 共面． 思考 1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答案 一定共面，反之不成立．2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答案 空间共面向量定理中，当向量 a，b 是平面向量时，即为平面向量基本定理．题型一 应用共面向量定理证明点共面例 1 已知 A、B、C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满足OM＝OA＋OB＋OC.(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．解 (1) OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)．∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC.又MB与MC不共线．∴向量MA、MB、MC共面．(2) 向量MA、MB、MC共面且具有公共起点 M，∴M、A、B、C 共面．即点 M 在平面 ABC 内．反思与感悟 利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．跟踪训练 1 已知两个非零向量 e1、e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D 共面．证明 AD＋AC＝5e1＋5e2＝5AB，∴AB＝(AD＋AC)＝AD＋AC，又AD与AC不共线．∴AB、AD、AC共面，又它们有一个公共起点 A.∴A、B、C、D 四点共面．题型二 应用共面向量定理证明线面平行例 2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 AC 的中点，求证：AB1∥平面 C1BD.证明 记AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则AB1＝a＋c，DB＝AB－AD＝a－b，DC1＝DC＋CC1＝b＋c，所以DB＋DC1＝a＋c＝AB1，又DB与DC1不共线，所以AB1，DB，DC1共面．又由于 AB1不在平面 C1BD 内，所以 AB1∥平面 C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，在面对角线AC1上和棱 ...
