高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示学案 苏教版选修2-1-苏教版高中选修2-1数学学案

3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示1．了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)3．基向量的选取及应用．(易错点)[基础·初探]教材整理 1 空间向量基本定理阅读教材 P87～P88例 1 以上的部分，完成下列问题．1．空间向量基本定理如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组( x，y，z)，使 p＝xe1＋ye2＋ze3.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0 不能作为基向量．3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．4．空间向量基本定理的推论设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP＝xOA＋＋zOC.设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有________个．【解析】 如图所示，设 a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则 x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c＝AC1.由 A，B1，D，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底．1【答案】 3教材整理 2 空间向量的坐标运算阅读教材 P89～P90例 1 以上的部分，完成下列问题．1．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝( a 2－ a 1， b 2－ b 1， c 2－ c 1)；当空间向量 a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量 a 的坐标．2．空间向量的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量的加法a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)向量的减法a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数乘向量λa＝( λa 1， λa 2， λa 3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔b1＝ λa 1， b 2＝ λa 2， b 3＝ λa 3，λ∈R...