3．1.5 空间向量的数量积[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 知识点一 空间向量的夹角定义已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角记法〈a，b〉范围〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b知识点二 空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|；若反向，则 a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝④|a·b|≤|a|·|b|题型一 空间向量的数量积运算例 1 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)BF·CE.解 (1)EF·BA＝BD·BA＝|BD|·|BA|·cos〈BD，BA〉＝×1×1×cos 60°＝，所以EF·BA＝.(2)EF·BD＝|BD|·|BD|·cos〈BD，BD〉＝×1×1×cos 0°＝，所以EF·BD＝.(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|·cos〈BD，DC〉＝×1×1×cos 120°＝－，所以EF·DC＝－.(4)BF·CE＝(BD＋BA)·(CB＋CA)＝[BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA]＝[－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC]＝(－－＋－＋)＝－.反 思 与 感 悟 由 向 量 数 量 积 的 定 义 知 ， 要 求 a 与 b 的 数 量 积 ， 需 已 知 |a| ， |b| 和〈a，b〉，a 与 b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 a·b 计算准确．跟踪训练 1 已知空间向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则 a·b＋b·c＋c·a 的值为________．答案 －13解析 a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.题型二 利用数量积求夹角例 2 如图，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA 与 BC 所成角的余弦值．解 因为BC＝AC－AB...
