3.2.3 空间的角的计算学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 空间角的向量求法阅读教材 P106～P108的部分，完成下列问题．1．两条异面直线所成角的向量求法若异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，l1，l2 所成的角为 θ，则 cos θ ＝ | cos < a ， b > | .2．直线和平面所成角的向量求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，a 与 n 的夹角为 θ1，l 与 α 所成的角为 θ2，则 sin θ2＝|cos θ 1|＝. (1) (2)图 32193．二面角的向量求法设二面角 αlβ 的大小为 θ，α，β 的法向量分别为 n1，n2，则|cos θ | ＝ | cos < n 1， n 2> | ＝，θ 取锐角还是钝角由图形确定．图 32201．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量 n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角为________．[解析] 由题意得，直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－60°＝30°.[答案] 30°3．异面直线 l 与 m 的方向向量分别为 a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线 l 与 m 所成的角的余弦值为________________．[解析] a·b＝－3＋4＝1，|a|＝＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.[答案] 4．已知二面角 αlβ，α 的法向量为 n＝(1,2，－1)，β 的法向量为 m＝(1，－3,1)，若二面角 αlβ 为锐角，则其余弦值为________．[解析] cos〈n，m〉＝＝＝－.又因二面角为锐角，所以余弦值为.[答案] [合 作 探 究·攻 重 难]求两条异面直线所成的角 (1)如图 3221，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，若 M，N 分别是 BB1，CC1的中点，则异面直线 AM 与 A1N 所成角的大小为________. 【导学号：71392202】图 3221(2)在三棱锥 DABC 中，DA⊥平...
