3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量学习目标：1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点)1．直线的方向向量 我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线 的非零向量叫做直线 l 的方向向量．2．平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称向量 n 垂直于平面 α，记作 n ⊥ α . 此时，我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量． [基础自测]1．平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a＝(2,3，－1)，平面 α 的法向量为 n＝(－1,1，m)，则 m＝________.[解析] 易知 a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得 m＝1.[答案] 12．已知 A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为________．[解析] 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则令 x＝1，则 y＝1，z＝0，即 n＝(1,1,0)，则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)．[答案] (1,1,0)(答案不惟一)直线的方向向量及其应用 (1)已知直线 l1 的一个方向向量为 (－7,3,4)，直线 l2 的一个方向向量为(x，y,8)，且 l1∥l2，则 x＝________，y＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)，B(2,6,3)，P 是直线 AB 上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线 AB 的一个方向向量为________，点 P 的坐标为________．[思路探究] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB即是直线 AB 的一个方向向量，利用AP＝AB求点 P 的坐标．[解析] (1)由 l1∥l2 可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得 x＝－14，y＝6.(2)AB＝(0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量．由 AP∶PB＝3∶2，得AP＝AB.设 P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，即 x－2＝0，y＝，z－1＝2·，解得 x＝2，y＝，z＝，所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点 P 的坐标为.[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) [规律方法] 1．应注意直线 AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面 SBA 与平面 SCD 的法向量．[思路探究] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有 ，设出法...
