第 3 课时 三角形中的几何计算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养．2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养．1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示 a，b，c 边上的高)；(2)S＝ab sin C＝bc sin A ＝ca sin B ；(3)S＝(a＋b＋c)·r(r 为内切圆半径).思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π － C ，＝－；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin (A＋B)＝sin C ，cos (A＋B)＝－ cos C ，tan (A＋B)＝－ tan C ，sin ＝cos ，cos ＝sin ．1．下列说法中正确的是 (填序号).① 已知三角形的三边长为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积 S＝(a＋b＋c)r；② 在△ABC 中，若 c＝b＝2，S△ABC＝，则 A＝60°；③ 在△ABC 中，若 a＝6，b＝4，C＝30°，则 S△ABC的面积是 6；④ 在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B.③ [① 中三角形的面积 S＝(a＋b＋c)r.② 由 S＝bc sin A 可得 sin A＝，∴A＝60°或 120°.④ 在△ABC 中由 sin 2A＝sin 2B 得 A＝B 或 A＋B＝.]2．在△ABC 中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC 的面积为 ．9 [由题知 A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知 b＝6，∴S＝ab sin C＝18×＝9.]3．在△ABC 中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC 的外接圆半径为，则边 c 的长为 ．3 [由题知 S△ABC＝ab sin C＝15 得 sin C＝.又由＝2R 得 c＝2×＝3.]1三角形面积的计算【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B＝，cos A＝，b＝.(1)求 sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．[解] (1) 角 A，B，C 为△ABC 的内角，且 B＝，cos A＝，∴C＝－A，sin A＝.∴sin C＝sin ＝cos A＋sin A＝.(2)由(1)知 sin A＝，sin C＝.又 B＝，b＝，∴在△ABC 中，由正弦定理得 a＝＝.∴△ABC 的面积 S＝ab sin C＝...
