高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.2 空间线面关系的判定学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

3．2.2 空间线面关系的判定学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)3.向量法证明线面平行．(易错点) 向量法判定线面关系设空间两条直线 l1，l2 的方向向量分别为 e1，e2，两个平面 α1，α2 的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与 l2e1∥ e 2e1⊥ e 2l1与 α1e1⊥ n 1e1∥ n 1α1与 α2n1∥ n 2n1⊥ n 2[基础自测]1．思考辨析(1)若向量 n1，n2为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为 0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．若直线 l 的方向向量为 a＝(－1,2,3)，平面 α 的法向量为 n＝(2，－4，－6)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是________．[解析] n＝－2a，∴n∥a，又 n 是平面 α 的法向量，所以 l⊥α.[答案] 垂直3．已知不重合的平面 α，β 的法向量分别为 n1＝，n2＝，则平面 α 与 β 的位置关系是________．[解析] n1＝－3n2，∴n1∥n2，故 α∥β.[答案] 平行向量法证明平行问题 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中(如图)，设 O，O1 分别为AC，A1C1的中点，求证：(1)BO1∥OD1；(2)BO1∥平面 ACD1；(3)平面 A1BC1∥平面 ACD1.[思路探究] →→→→→[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．(1)由上可知BO1＝(－1，－1,2)，OD1＝(－1，－1,2)，∴BO1＝OD1，∴BO1∥OD1，又直线 BO1与 OD1无公共点，∴BO1∥OD1.(2)法一：由上可知，AC＝(－2,2,0)，AD1＝(－2,0,2)，∴BO1＝－AC＋AD1，∴BO1，AC，AD1共面，∴BO1∥平面 ACD1，又 BO1⊄平面 ACD1，∴BO1∥平面 ACD1.法二：设平面 ACD1的一个法向量为 n＝(x，y,1)，由得∴∴n＝(1,1,1)．∴BO1·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，∴BO1⊥n.又 BO1⊄平面 ACD1，∴BO1∥平面 ACD1.(3)法一： BC1＝(－2,0,2)...