3.2.3 空间的角的计算学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)1．两条异面直线所成角的向量求法若异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，l1，l2 所成的角为 θ，则 cos θ＝|cos 〈 a ， b 〉 | .2．直线和平面所成角的向量求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，a 与 n 的夹角为 θ1，l 与 α 所成的角为 θ2，则 sin θ2＝|cos_θ1|＝. (1) (2)3．二面角的向量求法设 二 面 角 αlβ 的 大 小 为 θ ， α ， β 的 法 向 量 分 别 为 n1 ， n2 ， 则 |cos θ| ＝ |cos 〈 n 1， n 2〉 | ＝，θ 取锐角还是钝角由图形确定．[基础自测]1．思考辨析(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量 n1，n2 分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．异面直线 l 与 m 的方向向量分别为 a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线 l 与 m 所成的角的余弦值为___________________________．[解析] a·b＝－3＋4＝1，|a|＝＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.[答案] 3．已知二面角 αlβ，α 的法向量为 n＝(1,2，－1)，β 的法向量为 m＝(1，－3,1)，若二面角 αlβ 为锐角，则其余弦值为________．[解析] cos〈n，m〉＝＝＝－.又因二面角为锐角，所以余弦值为.[答案] 求两条异面直线所成的角 (1)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，若M，N 分别是 BB1，CC1的中点，则异面直线 AM 与 A1N 所成角的大小为________．(2) 在 三 棱 锥 DABC 中 ， DA⊥ 平 面 ABC ， DA ＝ 4 ， AB ＝ AC ＝2，AB⊥AC，E 为 BC 中点，F 为 CD 中点，则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为________．[ 思 路 探 究 ] (1) 法 一 ： 以 C1A1 ， C1B1 ， C1C 为 基 向 量 ， 表 示 AM ， A1N ， 求cos〈AM，A1N〉的余弦值；法二：以C1A1，C1B1，C1C分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐...
