2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程．1．椭圆的定义(1)定义：如果 F1，F2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且 2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1| ＋ | PF 2| ＝ 2 a 的动点 P 的轨迹称为椭圆．(2)相关概念：两个定点 F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．思考 1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 2a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段 F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2．椭圆的标准方程焦点位置在 x 轴上在 y 轴上标准方程＋＝ 1 (a＞b＞0)＋＝ 1 (a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c 的关系a2＝b 2 ＋ c 2 思考 2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示] a，b 的值及焦点所在的位置．思考 3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？[提示] 把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆＋＝1 的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( )[答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)× 需 2a＞|F1F2|．(2)× (0，±3)．(3)× a＞b＞0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆．2．以下方程表示椭圆的是( )A．x2＋y2＝1 B．2x2＋3y2＝6C．x2－y2＝1 D．2x2－3y2＝6B [只有 B 符合椭圆的标准方程的形式．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1 ...
