高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3．2.3 直线与平面的夹角 1.了解最小角定理的推证方法． 2.理解斜线和平面所成角的定义． 3.掌握直线和平面所成角的求法．1．最小角定理2．直线与平面所成的角1．一条直线与平面 α 所成的角为 30°，则它和平面 α 内所有直线所成的角中最小的角为( )A．30° B．60° C．90° D．150°答案：A2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°答案：A 用定义法求斜线和平面的夹角 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．1【解】 连接 BC1交 B1C 于 O 点，连接 A1O.设正方体棱长为 a.易证 BC1⊥平面 A1B1CD，所以 A1O 为 A1B 在面 A1B1CD 上的射影，所以∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角．在 Rt△A1BO 中，A1B＝a，OB＝a，所以 sin∠BA1O＝＝，所以∠BA1O＝30°.即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°.所谓定义法是指将求斜线与平面的夹角转化为斜线与其在平面内射影的夹角，此种方法的关键是确定斜线在平面内的射影．找射影有以下两种方法： (1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上，故找到斜线上任一点在平面内的射影，连斜足和垂足即得；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，连接斜足和垂足即得． 在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 的中点，连接 CE，求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值．解：如图，过 A、E 分别作 AO⊥平面 BCD，EG⊥平面 BCD，O、G 为垂足．所以 AO\s\do3(==)2GE，AO、GE 确定平面 AOD，连接 GC，则∠ECG 为 CE 和平面 BCD 所成的角．因为 AB＝AC＝AD，所以 OB＝OC＝OD.因为△BCD 是正三角形，所以 O 为△BCD 的中心，连接 OD 并延长交 BC 于 F，则 F 为 BC 的中点．令正四面体棱长为1，可求得 CE＝，DF＝，OD＝，AO＝＝＝，所以 EG＝，在 Rt△ECG 中，sin∠ECG＝＝. 用向量法求线与面的夹角 如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．2(1)证明 MN∥平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：由已知得 AM＝AD＝2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN.由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC，TN＝BC＝2.又 AD∥BC，故 TN\s\do3(==)AM，四...