3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3．平面法向量的设法．(易错点)[基础·初探]教材整理 1 直线的方向向量阅读教材 P99上半部分，完成下列问题．我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量．已知直线 l 过 A(3,2,1)，B(2,2,2)，且 a＝(2,0，x)是直线 l 的一个方向向量，则 x＝________.【解析】 AB＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB，则存在实数 λ，使 a＝λAB，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.【答案】 －2教材整理 2 平面的法向量阅读教材 P99中间部分，完成下列问题． 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称向量 n 垂直于平面α，记作 n⊥α.此时，我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量． 1．平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a＝(2,3，－1)，平面 α 的法向量为 n＝(－1,1 ，m)，则 m＝________.【解析】 易知 a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得 m＝1.【答案】 12．已知 A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为________. 【导学号：09390079】【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则令 x＝1，则 y＝1，z＝0，即 n＝(1,1,0)，则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)．1 【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]直线的方向向量及其应用 (1)已知直线 l1 的一个方向向量为(－7,3,4)，直线 l2 的一个方向向量为(x，y,8)，且 l1∥l2，则 x＝________，y＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)，B(2,6,3)，P 是直线 AB 上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线 AB 的一个方向向量为________，点 P 的坐标为________．【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB即是直线 AB 的一个方向向量，利用AP＝AB求点 P 的坐标．【解析】 (1)由 l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得 x＝－14，y＝6.(2)AB＝(0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量．由 AP∶PB＝3∶2，得AP＝AB.设 P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，即 x－2＝0，y＝，z－1＝2·，解得 x＝2，y＝，z＝，所以直线 AB 的一个方向向量是(0,...
