3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 .知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线 l 的方向向量为 μ1＝，平面 α 的法向量为 μ2＝，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为 μ1＝μ2，所以 μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线 l 与平面 α 垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量共线⇒l⊥α. (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内．(3)直线 l 的方向向量与平面 α 内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.梳理 设直线 l 的方向向量 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面 α，β 的法向量分别为 μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面 α，β 垂直的关系式是什么？答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面 α 的法向量为 μ＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量为 ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 .已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．判断下面结论的对错：1．AP⊥AB；(√)2．AP⊥AD.(√)3.AP是平面 ABCD 的法向量．(√)4.AP∥BD.(×)类型一 证明线线垂直例 1 如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱CC1上的点，且 CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明 设 AB 的中点为 O，连结 OC，作 OO1∥AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC所在直线为 y 轴，OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A，B，C，N，B1， M 为 BC 的中点，∴M.∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→...
