3．2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．知识点 空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线 l 的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R设平面 α 的法向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量为 v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0思考 1．用向量法如何证明线面垂直？答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行．2．平面 α 上的向量 a 与平面 β 上的向量 b 垂直，能判断 α⊥β 吗？答案 不能．题型一 证明线线垂直问题例 1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为 AC，DC 的中点．求证：EF⊥BC.证明 由题意，以点 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0，，)，F(，，0)，所以EF＝(，0，－)，BC＝(0,2,0)，因此EF·BC＝0.从而EF⊥BC，所以 EF⊥BC.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，垂足为 A，AB⊥AD 于A，AC⊥CD 于 C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证 AE⊥CD.证明 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 PA＝AB＝BC＝1，则 A(0,0,0)，P(0,0,1)． ∠ABC＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C(，，0)，E(，，)．设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD 得AC·CD＝0，即 y＝，则 D(0，，0)，∴CD＝(－，，0)．又AE＝(，，)，∴AE·CD＝－×＋×＝0，∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.题型二 证明线面垂直问题例 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面 B1AC.证明 方法一 设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，...
