3．2.2 空间线面关系的判定(一)平行关系[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.2.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系．知识点 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 .(3)面面平行设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．思考 1．用向量法如何证明线面平行？答案 证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．2．直线 l 的方向向量是惟一的吗？答案 不惟一．题型一 证明线线平行问题例 1 已知直线 l1与 l2的方向向量分别是 a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．证明：l1∥l2.证明 a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，即 l1∥l2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练 1 已知在四面体 ABCD 中，G、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则 GH 与 BD 的位置关系是________．答案 平行解析 设 E、F 分别为 BC 和 CD 的中点，则GH＝GA＋AH＝(EA＋AF)＝EF，所以 GH∥EF，所以GH∥BD.题型二 证明线面平行问题例 2 在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD＝DC，E是 PC 的中点．证明：PA∥平面 EDB.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 PD＝DC＝a.方法一 连结 AC，交 BD 于点 G，连结 EG，依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．因为四边形 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为(，，0)，所以EG＝(，0，－)．又PA＝(a,0，－a)，所以PA＝2EG，这表明 PA∥EG.而 EG⊂平面 EDB，且 PA⊄平面 EDB，所以 PA∥平面 EDB.方法二 设平面 BDE 的法向量为 n＝(x，y，z)，DE＝(0，，)，EB＝(a，，－)，则有即即令 y＝－1，则所以 n＝(1，－1,1)，又PA＝(a,0，－a)，所以 n·PA＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0....
