2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差 1.了解离散型随机变量的方差的实际背景． 2.理解离散型随机变量的方差的概念与意义．3．掌握离散型随机变量的方差与标准差的计算与应用．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)方差一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布如下：Xx1x2…xnPp1p2…pn则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了 xi(i＝1，2，…，n)相对于均值 μ 的偏离程度，故( x 1－ μ ) 2 p 1＋ ( x 2－ μ ) 2 p 2＋…＋ ( x n－ μ ) 2 p n(其中 pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻画了随机变量 X 与其均值 μ 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量 X 的方差，记为 V(X)或 σ2，即V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)标准差随机变量 X 的方差 V(X)的算术平方根称为 X 的标准差，即 σ＝.2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若 X～01 分布，则 V(X)＝p (1 － p ) ；(2)若 X～H(n，M，N)，则 V(X)＝；(3)若 X～B(n，p)，则 V(X)＝np (1 － p ) ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )(2)若 a 是常数，则 V(a)＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．已知 X 的分布列为X1234P则 V(X)的值为( )A. B.C.D.答案：C3．已知 X 的分布列为X012P设 Y＝2X＋3，则 V(Y)＝________．答案： 求离散型随机变量的方差 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取球的标号．求 ξ 的概率分布、均值和方差．【解】 由题意得，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝.故 ξ 的概率分布为ξ01234P所以 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，V(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.求随机变量的方差一般是列出概率分布，求出期望，再利用方差的定义求解． 1.已知随机变量 ξ 的概率分布为：ξ01xPp若 E(ξ)＝，则 V(ξ)的值为________．解析：由概率分布的性质，得＋＋p＝1，解得 p＝.因为 E(ξ)＝0×＋1×＋x＝，所以 x＝2.V(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×...
