3.2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角(1)定义：设 a、b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做 a 与 b 所成的角．(2)范围：两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0<θ≤.(3)向量求法：设直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 φ，则 a，b 所成角的余弦值为 cos θ＝|cos φ|＝.知识点二 直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角 θ 的取值范围是 0≤θ≤.(3)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 θ，a与 u 的夹角为 φ，则有sin θ＝|cos φ|＝或 cos θ＝sin φ.知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]．(2)二面角的向量求法：① 若 AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线(垂足分别为 A，C)，如图，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角．② 设 n1、n2是二面角 α-l-β 的两个面 α，β 的法向量，则向量 n1与向量 n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．题型一 两条异面直线所成角的向量求法例 1 如图，在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点．求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值．解 以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AA1为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ， C1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．因为 cos〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为.反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练 1 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 上的动点．若异面直线 AD1与 EC 所成角为 60°，试确定此时动点 E 的位置．解 以 DA 所在直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DD1所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设 E(1，t,0)(0≤t≤2)，则 A(1,0,0)，D(0,...
