高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.5 平面的法向量学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

3．5 平面的法向量 1.理解平面的法向量的定义，会求平面的法向量． 2.能运用平面的法向量证明平行与垂直问题．1．平面的法向量与平面 α 垂直的非零向量称为 α 的法向量，平面的法向量可以代表平面的方向．2．空间中垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a ⊥ b 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a ∥ u 设平面 α 的法向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u ⊥ v 1．若平面 α⊥β，且平面 α 的一个法向量为 n＝，则平面 β 的法向量可以是( )A. B．(2，－1，0)C．(1，2，0) D.答案：C2．若直线的方向向量为 u1＝，平面的法向量为 u2＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时 z＝________．答案：3.如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量．解：如图，以 A 为原点，以AD，AB，AS分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则DC＝，DS＝.易知向量AD＝是平面 SAB 的一个法向量．设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的法向量，则即取 x＝2，则 y＝－1，z＝1，所以平面 SDC 的一个法向量为(2，－1，1)． 平面的法向量的求解与判定 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求出平面 ABC 的一个法向量．1【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，因为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)，由题设得：，即，解之得，取 y＝1，则 x＝2.故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2，1，0)．任一平面的法向量都有无数多个． 已知点 A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，5)，求平面 ABC 的单位法向量．解：设单位法向量 n＝(x，y，z)，因为AB＝(－3，4，0)，AC＝(－3，0，5)，所以解得 n＝，或 n＝. 用向量法证明线面垂直问题 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位置关系．【解】 设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，D...