高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3.1.1 平均变化率学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义 .3.了解平均变化率的正负.知识点一 函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径 r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝.思考 1 当空气容量 V 从 0 增加到 1L 时，气球的平均膨胀率是多少？答案 平均膨胀率为≈＝0.62 (dm/L).思考 2 当空气容量从 V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是多少？答案 平均膨胀率为.梳理 函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝，其中 Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)是函数值的改变量.知识点二 平均变化率的意义思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案 如图，表示 A，B 之间的曲线和 B，C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.如用比值近似量化 B，C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率.梳理 平均变化率的几何意义：设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线 AB 的斜率.1.函数 y＝x2＋1 在[2,3]上的平均变化率是 5.( √ )2.甲、乙二人销售化妆品，从 2014 年 2 月开始的 3 个月内，甲投入资金 5 万元，获利 4 万元，乙投入资金 8 万元，获利 6 万元.因此我们认为乙的经营效果较好.( × )3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.( √ )4.函数 f(x)在 A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线 AB 的斜率.( √ )类型一 求函数的平均变化率例 1 (1)已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5.① 求：当 x1＝4，x2＝5 时，函数增量 Δy 和平均变化率；② 求：当 x1＝4，x2＝4.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率.(2)求函数 y＝f(x)＝x2在 x＝1,2,3 附近的平均变化率，取 Δx 都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解 (1)因为 f(x)＝2x2＋3x－5，所以 Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.＝＝2Δx＋4x1＋3.① 当 x1＝4，x2＝5 时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.② 当 x1＝4，x2＝4.1 时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.＝2...