高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数（二）学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3.1.2 瞬时变化率——导数(二)学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.知识点一 函数的导数思考 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案 函数 f(x)在点 x0附近的平均变化率为＝，当 Δx→0 时，→A，A 就是 f(x)在点 x＝x0处的导数，记作 f′(x0).梳理 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当 Δx 无限趋近于 0 时，比值＝无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 x＝x0处可导，并称常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′( x 0).知识点二 导数的几何意义思考 导数 f′(x0)有什么几何意义？答案 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.知识点三 导数与导函数的关系思考 导函数 f′(x)和 f(x)在一点处的导数 f′(x0)有何关系？答案 函数 f(x)在一点处的导数 f′(x0)是 f(x)的导函数 f′(x)在 x＝x0的函数值.f(x)在 x＝x0处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0处的函数值.梳理 (1)导函数的定义若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f ′( x ) .在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数.(2)f′(x0)的意义f(x)在点 x＝x0处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0处的函数值.1.函数 f(x)在区间(a，b)内可导就是 f(x)对于任意 x0∈(a，b)都有 f′(x0)存在.( √ )2.f′(x0)表示函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，是对一个点 x0 而言的，它是一个确定的值.( √ )3.f′(x)表示函数 f(x)的导函数，简称导数，是对 f(x)的定义域或指定的区间(a，b)而言的.( √ )4.f(x)在其定义域内的每一点 x0都一定有 f′(x0)存在.( × )类型一 求函数的导函数例 1 求函数 y＝在 x＝1 处的导数.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 Δy＝－1，＝＝＝.当 Δx→0 时，＝→，∴y＝在 x＝1 处的导数为.反思与感悟 根据导数的定义，求函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的步骤(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)得导数，当 Δx→0 时，→f′(x0).关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用.跟踪训练 1 利用定义求...