第 3 章 空间向量与立体几何章末分层突破① 数乘运算② 空间向量的数量积③ 垂直④ 夹角⑤ 数乘结合律⑥ 线面关系⑦ 点面距 空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础． 沿着正四面体 OABC 的三条棱OA，OB，OC的方向有大小等于 1,2 和 3 的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．【精彩点拨】 用向量表示 f1，f2，f3，再根据模与夹角的向量运算公式求解．【规范解答】 如图所示，用 a，b，c 分别代表棱OA，OB，OC上的三个单位向量，则 f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，1则 f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴|f|＝5，即所求合力的大小为 5.且 cos〈f，a〉＝＝＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.[再练一题]1．如图 31，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A，B，C，D 的距离都等于 2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0.其中正确结论的序号是________．图 31【解析】 容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面 ABCD 是边长 为 1 的 正 方 形 ， SA ＝ SB ＝ SC ＝ SD ＝ 2 ， 所 以 SA·SB ＝ 2·2·cos∠ASB ， SC·SD ＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④空间平行与垂直的证明 向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：(1)线线平面证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则 a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量...
