高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3.3.2 极大值与极小值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一 函数极值的概念函数 y＝f(x)的图象如图所示.思考 1 函数在 x＝a 处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？答案 函数在 x＝a 处的函数值比它在 x＝a 附近的其他点的函数值都小.思考 2 f′(a)为多少？在 x＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？答案 f′(a)＝0，在 x＝a 的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.梳理 (1)极小值函数 y＝f(x)在 x＝a 处的函数值 f(a)比它在 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在 x＝a 的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值.(2)极大值函数 y＝f(x)在 x＝b 处的函数值 f(b)比它在 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在 x＝b 的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值.极大值和极小值统称为极值.知识点二 求函数 y＝f(x)极值的方法(1)解方程 f′(x)＝0；(2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断：① 如果在 x0两侧 f′(x)符号相同，那么 x0不是 f(x)的极值点.② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值.③ 如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值.1.函数的极小值一定小于它的极大值.( × )2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.( × )3.若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数.( √ )4.函数 y＝x3＋x2＋2x－3 存在极值.( × )类型一 求函数的极值例 1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝＋3lnx.考点 函数的极值与导数的关系题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1 的定义域为 R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程 6(x＋2)(x－1)＝0，得 x1＝－2，x2＝1.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值 21↘极小值－6↗所以当 x＝－2 时，f(x)取极大值 21；当 x＝1 时，f(x)取极小值－6.(2)函数 f(x)＝＋3lnx 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令 f′(x)＝0，得 x＝1.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f...