第 3 章 空间向量与立体几何1．空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．2．两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．4．空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．1．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷有效，提高解题速度．例 1 某几何体 ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A1C⊥平面 AB1C1；(2)求二面角 C1－AB1－C 的余弦值．(1)证明 由三视图可知，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面 A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且 AA1＝AC＝4，BC＝3.以点 C 为原点，分别以 CA，CB，CC1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由已知可得 A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)，∴CA1＝(4,0,4)，C1A＝(4,0，－4)，C1B1＝(0,3,0)，∴CA1·C1A＝0，CA1·C1B1＝0，∴CA1⊥C1A，CA1⊥C1B1，又 C1A∩C1B1＝C1，C1A⊂平面 AB1C1，C1B1⊂平面 AB1C1，∴A1C⊥平面 AB1C1.(2)解 由(1)得，CA＝...
