第 3 章 导数及其应用章末分层突破[自我校对]①(Δx→0)②f′(x0)③ 导数的运算法则④ 导数的应用⑤ 函数的最值 利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题，一般要利用 k＝f′(x0)((x0，f(x0))为切点)及切点的坐标满1足切线方程和曲线方程列方程组求解. 求过曲线 y＝x3－2x 上的点(1，－1)的切线方程. 【精彩点拨】 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解. 【规范解答】 设切点为 P(x0，y0)，则 y0＝x－2x0. y′＝3x2－2，则切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x－2，∴切线方程为 y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0).又 切线过点(1，－1)，∴－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得 x0＝1 或 x0＝－.∴切点为(1，－1)或，相应的切线斜率为 k＝1 或 k＝－.故所求切线方程为 y－(－1)＝x－1 或 y－＝－·，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.[再练一题]1.(2016·淮安高二检测)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值，并且它的图象与直线 y＝－3x＋3 在点(1,0)处相切，则函数 f(x)的表达式为________.【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. f(x)与直线 y＝－3x＋3 在点(1,0)处相切，∴即 f(x)在 x＝2 处取得极值，∴f′(2)＝12＋4a＋b＝0.③ 由①②③解得∴f(x)＝x3－3x2＋2.【答案】 f(x)＝x3－3x2＋2利用导数研究函数的单调性1.求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用 f ′(x)＞0，f ′(x)＜0 的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f′(x)＝0 有无根，(2)f′(x)＝0 根的大小，(3)f′(x)＝0 的根是否在定义域内.另外当 f′(x)＝0 的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为 0.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即 f′(x)≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使 f′(x)＝0 的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令 f′(x)＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所...
