第十章 曲线积分与曲面积分 一、一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。三、三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1）（1） 第一类曲线积分（存在时）表示第 i 个小弧段的长度，（）是上的任一点小弧段的最大长度。实际意义： 当 f(x,y)表示 L 的线密度时，表示 L 的质量；当 f(x,y) 1 时，表示 L 的弧长，当 f(x,y)表示位于 L 上的柱面在点（x,y）处的高时，表示此柱面的面积。（2）（2） 第二类曲线积分 (存在时)实际意义：设变力=P(x,y) +Q(x,y) 将质点从点 A 沿曲线 L 移动到 B 点，则作的功为：，其中=（dx,dy）事实上，，分别是在沿 X 轴方向及 Y 轴方向所作的功。（3）（3） 第一类曲面积分 (存在时)表示第 i 个小块曲面的面积，（）为上的任一点，是 n 块小曲面的最大直径。 实际意义：当 f(x,y，z)表示曲面上点（x,y,z）处的面密度时，表示曲面的质量，当 f(x,y,z) 1 时，表示曲面的面积。（4）（4） 第二类曲面积分（存在时）其中，，分别表示将任意分为 n 块小曲面后第 I 块在 yoz 面，zox 面，xoy 面上的投影，dydz，dzdx，dxdy 分别表示这三种投影元素; （）为上的任一点，是 n 块小曲面的最大直径。实际意义：设变力=P(x,y，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 为通过曲面的流体（稳定流动且不可压缩）在上的点（x,y,z）处的速度。则 表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量。 2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1）（1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）（2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（3） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关=3、曲线（面）积分的计算（1）（1） 曲线积分的计算a、 a、 依据积分曲线 L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2）（2） 曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面投向使投影面积非零的坐标面b 将的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替...
