2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝| λ || a | ；② 当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有：①λ(μ a)＝( λμ ) a ；②(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ；③λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ；特别地，有(－λ)a＝λ ( － a ) ＝－ ( λ a ) ；λ(a－b)＝λ a － λ b .2．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λ a .思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中 a≠0 不能漏掉．若 a＝b＝0，则实数 λ 可以是任意实数；若 a＝0，b≠0，则不存在实数 λ，使得 b＝λa.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a ＋ λμ 2b.1．若|a|＝1，|b|＝2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是( )A．b＝2a B．b＝－2aC．a＝2b D．a＝－2bA [因 a，b 方向相同，故 b＝2a.]2．点 C 是线段 AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是( )A.AB＝3BC B.AC＝2BCC.AC＝BC D.AC＝2CBD [由题意可知：AB＝－3BC；AC＝－2BC＝2CB.故只有 D 正确．]3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________.－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]4．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＋AD＝λAO，则 λ＝________.2 [由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC.又 O 是 AC 的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO，∴λ＝2.]向量的线性运算【例 1】 (1)若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝________.(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9；②－2；③2(5a－4b＋...
