§2 空间向量的运算学习目标：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点) 会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点) 能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)1．空间向量的运算空间向量的运算定义(或法则)运算律加法设 a 和 b 是空间两个向量，过一点 O 作 a和 b 的相等向量OA和OB，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线 OC 对应的向量OC就是 a 与 b 的和，记作a＋b，如图所示① 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；② 交换律：a＋b＝b＋a减法与平面向量类似，a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b，其中－b 是 b 的相反向量空间向量的数乘空间向量 a 与一个实数 λ 的乘积是一个向量，记作 λa，满足：①|λa|＝|λ||a|，② 当 λ＞0 时，λa 与 a 方向相同；当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R) ；③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)空间向量的数量积空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作 a·b① 交换律：a·b＝b·a；② 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)与数量积有关的结论①|a|＝；②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)思考：空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？[提示] 数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)．这是由于 (a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量 ，而1a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．2．共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λ b ．1.判断正误(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )(2)AB＋BA＝0.( )(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．( )(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.化简PM－PN＋MN所得的结果是( )A．PM B．NPC．0 D．MN C [因为PM－PN＋MN＝NM＋MN＝0.]3.下列式子中正确的是( )A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|D [|a|·a 是 与 a 共 线 的 向 量 ， a2 是 实 数 ， 故 A 错 误 ； (a·b)2 ＝ |a|2...
