3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点) 掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点) 理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点)1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量 i，j，k 叫作标准正交基．2．标准正交分解设 i，j，k 为标准正交基，对空间任意向量 a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得 a＝x i ＋ y j ＋ z k ，则把 a ＝ x i ＋ y j ＋ z k 叫作 a 的标准正交分解．3．向量的坐标表示在 a 的标准正交分解中三元有序实数组( x ， y ， z ) 叫作空间向量 a 的坐标，a ＝ ( x ， y ， z ) 叫作向量 a 的坐标表示．思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？[提示] (1)当向量 a 平行于 x 轴时，纵坐标，竖坐标都为 0，即 a＝(x，0，0)．(2)当向量 a 平行于 y 轴时，横坐标，竖坐标都为 0，即 a＝(0，y，0)．(3)当向量 a 平行于 z 轴时，横坐标，纵坐标都为 0，即 a＝(0，0，z)．(4)当向量 a 平行于 xOy 平面时，竖坐标为 0，即 a＝(x，y，0)．(5)当向量 a 平行于 yOz 平面时，横坐标为 0，即 a＝(0，y，z)．(6)当向量 a 平行于 xOz 平面时，纵坐标为 0，即 a＝(x，0，z)．4．向量坐标与投影(1)i，j，k 为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么 a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z．把 x，y，z 分别称为向量 a 在单位向量 i，j，k 上的投影．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．(3)一般地，若 b0为 b 的单位向量，则称 a·b0＝ |a | cos 〈 a ， b 〉 为向量 a 在向量 b 上的投影．5．空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得 a ＝ λ 1e1＋ λ 2e2＋ λ 3e3．思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．1.判断正误(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )(2)向量AP的坐标与点 P 的坐标一致．( )(3)对于三个不共面向量 a1，a2，a3...
