高中数学 第2章 空间向量与立体几何 3 3.3 空间向量运算的坐标表示学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

3.3 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点) 能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)1．空间向量的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，①a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)，②a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)，③λa＝( λa 1， λ a 2， λ a 3)，④a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3.2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3 (λ∈R)；②a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 ；③|a|＝＝；④cos〈a，b〉＝＝.思考：已知 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用＝＝表示 a∥b 的条件？为什么？[提示] 不能．无法保证 b1b2b3≠0，故不能用＝＝表示 a∥b 的条件．1.判断正误(1)对空间任意的两个向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若 a·b>0，则〈a，b〉为锐角．( )(2)若 a＝(x，y，z)，则|a|＝x2＋y2＋z2. ( )(3)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点 B 的坐标为(x1，y1，z1)．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知向量 a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6D [a＋b＝(10，－5，－2)，A 错误；a－b＝(－2，1，－6)，B 错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C 错误；|a|＝＝6，故选 D.]3．已知向量 a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则 a 与 b 的夹角为( )A．0° B．45°C．90° D．180°C [ cos〈a，b〉＝＝＝0，〈a，b〉∈[0°，180°]．∴〈a，b〉＝90°.]4．已知 a＝(1，－2，4)，b＝(－2，4，x)．(1)当 a⊥b 时，x＝________．(2)当 a∥b 时，x＝________．(1) (2)－8 [(1)由 a·b＝－2－8＋4x＝0，得 x＝.(2)由 a∥b 得＝＝解得 x＝－8.]1空间向量的坐标运算【例 1】 已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设 p＝AB，q＝CD.求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－2q)·(p＋2q)．[解] 因为 A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以 p＝AB＝(2，1，3 )，q＝CD＝(2，0，－6)．(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，...