高中数学 第2章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示[教材研读]预习课本 P98～100，思考以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？ [要点梳理]平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0结论当且仅当 x1y2－ x 2y1＝ 0 时，向量 a、b(b≠0)共线[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则必有 x1y2＝x2y1.( )2．向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )3．设三点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若AB＝λAC，则AB∥AC.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.×思考 1：向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 x1y1－x2y2＝0 或 x1x2－y1y2＝0 能判断 a∥b吗？提示：不能．思考 2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：能．将 b 写成 λa 形式，λ>0 时 b 与 a 同向，λ<0 时，b 与 a 反向．已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，那么AB与AC是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[思路导引] 若AB＝λAC(λ∈R)则共线，否则不共线；当 λ>0 时同向，否则反向．[解] 因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，因为 2×6－3×4＝0，所以AB∥AC，所以AB与AC共线．又AB＝AC，所以AB与AC的方向相同．向量共线的判定方法【温馨提示】 (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成＝＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当 a≠0，b＝0 时，a∥b，此时 x1y2－x2y1＝0 也成立，即对任意向量 a，b 都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.[跟踪训练]已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得解得 k＝λ＝－.当 k＝－时，ka＋b 与 a－3b 平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， λ＝－<0，∴ka＋b 与 a－3b 反向．解法二：由解法一知 ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ka＋b 与 a－3b 平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－.故 ka＋b 与 a－3b 反向．思考 1：如何证明向量 a 与 b 共线？提示：要证向量 a 与 b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 a＝λa...