高中数学 第2章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义[教材研读]预习课本 P103～105，思考以下问题1．怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ 2．向量 b 在 a 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ 3．向量数量积的性质有哪些？ 4．向量数量积的运算律有哪些？ [要点梳理]1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积已知条件向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ定义a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ记法a·b＝|a||b|cosθ(2)零向量与任一向量的数量积规定：零向量与任一向量的数量积均为 0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念① 向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cosθ.② 向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cosθ.(2)数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．3．向量数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|.当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．两个向量的数量积仍然是向量．( )2．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( )3．若 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ>0⇔a·b>0.( )4．若 a·b＝b·c，则 a＝c.( )[答案] 1.× 2.× 3.√ 4.×思考：要求 a·b，需要知道哪些量？提示：需要知道|a|，|b|及 cosθ.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积. [思路导引] 利用数量积的定义求解．[解] (1)a∥b，若 a 与 b 同向，则 θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当 a⊥b 时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×＝10.求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即 a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省...