2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[教材研读]预习课本 P106～107，思考以下问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2．如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ [要点梳理]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 a·b＝x1x2＋ y 1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设 a＝(x，y)，则|a|＝.(2)两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝＝.[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)．( )2．|AB|的计算公式与 A，B 两点间的距离公式是一致的．( )3．非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为锐角，则 x1x2＋y1y2>0，反之，若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足 x1x2＋y1y2>0，则它们的夹角为锐角．( )[答案] 1.× 2.√ 3.×题型一 向量数量积的坐标运算思考：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b 如何计算？提示：a·b＝x1x2＋y1y2. (1)在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)，若∠ABO＝90°，则实数 t 的值为________．(2)已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：① 2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.[思路导引] 利用向量垂直的充要条件及数量积的坐标表示求解．[解析] (1)AB＝OB－OA＝(3,2－t)，由题意知OB·AB＝0，所以 2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.(2)解法一：① 2a＝2(1,3)＝(2,6)，b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.② a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.解法二：① 2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.[答案] (1)5 (2)①14 ② 23 数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题...
