高中数学 第4课时 三角函数的趣题 直角三角形教学案 新人教版必修1-新人教版高一必修1数学教学案

第 4 课时 三角函数的趣题—直角三角形 教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析例 1、海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55°的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25°的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?解析：过 A 作 BC 的垂线，交 BC 于点 D.得到 Rt△ABD 和 Rt△ACD，从而 BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由 BD-CD＝BC，又 BC＝20 海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=≈20.79(海里).这样 AD≈20.79 海里>10 海里，所以货轮没有触礁的危险例 2、如图，某货船以 20 海里／时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里／时的速度由 A 向北偏西 60°方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?解析：(1)过点 B 作 BD⊥AC.垂足为 D. 依题意，得∠BAC＝30°，在 Rt△ABD 中，BD= AB=×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.1 (2)以点 B 为圆心，200 海里为半径画圆交 AC 于 E、F，由勾股定理可求得 DE=120.AD=160. AE=AD-DE=160 -120， ∴=3.8(小时).因此，陔船应在 3.8 小时内卸完货物.练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬 40°的山坡 300 m，再爬 30°的山坡 100 m，求山高.(结果精确到 0.01 m)三、本课小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业如图，Rt△ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为 45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1：1.5 的斜坡 AD，求 DB 的长.(结果保留根号)2