2．5 平面向量应用举例[教材研读]预习课本 P109～112，思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ [要点梳理]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量 mv 是向量的数乘运算．(4)功是力 F 与位移 s 的数量积．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若△ABC 是直角三角形，则有AB·BC＝0.( )2．力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量．( )3．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( )[答案] 1.× 2.√ 3.√如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.[思路导引] 可以选取AB，AD为基底表示出AF，DE，将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长，以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，求出AF，DE的坐标进行数量积的坐标运算．[证明] 证法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE＝DA＋AE＝－a＋，AF＝AB＋BF＝b＋，所以AF·DE＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故AF⊥DE，即 AF⊥DE.证 法 二 ： 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 如 图 ， 设 正 方 形 的 边 长 为 2 ， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即 AF⊥DE.已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m，BC＝n.(1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝AB.(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．[思路导引] 解决此题时应建立适当的坐标系，(1)中依据 A，B 两点坐标，写出 D 点坐标转化为向量的模求解．(2)中由 A，E，F 三点共线，得AF＝λAE求得 F 点坐标即可表示AF 的长度．[解] (1)证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)． D 为 AB 的中点，∴D，∴|CD|＝，|AB|＝，∴|CD|＝|AB|，即 CD＝AB.(2) E 为 CD 的中点，∴E，设...
