高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性学案 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学学案

4．3.1 利用导数研究函数的单调性 1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系． 2.能够利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间．用函数的导数判断函数单调性的法则如果在一个区间内，函数 f(x)的导数 f′(x)>0，则 f(x)单调递增；如果在一个区间内，函数 f(x)的导数 f′(x)<0，则 f(x)单调递减．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( )(2)因为函数 y＝的导函数 y′＝－＜0，所以说该函数在其定义域内为减函数．( )答案：(1)× (2)×2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定答案：A 利用导数证明或判断函数的单调性[学生用书 P10] 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减．【证明】 f′(x)＝，又 x∈，则 cos x<0，sin x>0，所以 xcos x－sin x<0，所以 f′(x)<0，所以 f(x)在上是减函数．利用导数证明或判断函数单调性的思路 设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，其中 a∈R.讨论 f(x)的单调性．解：f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．当 a≤0 时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当 a＞0 时，由 f′(x)＝0，有 x＝ .此时，当 x∈时，1f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝2x－ln x. 【解】 (1)函数的定义域为 R，因为 f(x)＝x3－2x2＋x，所以 f′(x)＝3x2－4x＋1.令 f′(x)>0，解得 x>1 或 x<.因此 f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．令 f′(x)<0，解得0，解得 x>；令 f′(x)＝2－<0，解得 00 和 f′(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间． 求函数 f(x)＝x3＋的单调区间．解：函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f′(x)＝3x2－＝3.令 f′(x)＞0，解得 x＜－1 或 x＞1.令 f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且 x≠0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0 ，1)． 已知函数的单调性求...