高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.2 函数的极大值和极小值学案 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学学案

4．3.2 函数的极大值和极小值 1.理解极值的有关概念． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．会用导数求函数的极大值和极小值．1．极大值点与极大值设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点 x0附近的函数值都小于 f(x0)(即 f ( x ) ＜ f ( x 0)，x∈(a，b))，就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的一个极大值，此时 x0称为 f(x)的一个极大值点．2．极小值点与极小值设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点 x0附近的函数值都大于 f(x0)(即 f ( x ) ＞ f ( x 0)，x∈(a，b))，就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的一个极小值，此时 x0称为 f(x)的一个极小值点．3．驻点若 f ′( c ) ＝ 0 ，则 x＝c 叫作函数 f(x)的驻点．4．求极值的一般步骤(1)求导数 f′(x)；(2)求 f(x)的驻点，即求 f′(x)＝0 的根；(3)检查 f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数 y＝f(x)在这个驻点处取得极小值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点．( )(2)极大值一定比极小值大．( )(3)函数 f(x)＝无极值．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．如图是导函数 y＝f′(x)的图象，在标记的点________处，函数 y＝f(x)有极大值( )A．x2 B．x3C．x5 D．x4答案：B3．函数 y＝1＋3x2－x3的极小值是________，极大值是________． 答案：1 51 求函数的极值[学生用书 P13] 求下列函数的极值．(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝x2·e－x.【解】 (1)f′(x)＝＝.令 f′(x)＝0，得驻点 x＝－1 和 x＝1，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－1当 x＝－1 时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(－1)＝－3.当 x＝1 时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(1)＝－1.(2)因为 f(x)＝x2·e－x的定义域为 R.f′(x)＝2xe－x＋x2·()′＝2xe－x－x2e－x＝xe－x(2－x)，令 f′(x)＝0，得 x1＝0 和 x2＝2，根据 x1，x2列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值 0极大值4e－2由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且 f(0)＝0.当 x＝2 时，函数有极大值，且 f(2)＝4e...