高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值学案 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学学案

4．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 1.会求三次函数的单调区间和极值． 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．三次函数的单调区间和极值设 F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 F′(x)＝3ax2＋2bx＋c.可能有三种情形：情形 1：函数 F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．若 a>0，则 F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；若 a<0，则 F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．情形 2：函数 F′(x)有一个零点 x＝ω，根据二次函数的性质：若 a>0，则 F′(x)在(－∞，ω)∪(ω，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；若 a<0，则 F′(x)在(－∞，ω)∪(ω，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．情形 3：函数 F′(x)有两个零点 x＝u 和 x＝v，设 u0，则 F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．可见 F(x)在 x＝u 处取极大值，在 x＝v 处取极小值．若 a<0，则 F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．可见 F(x)在 x＝u 处取极小值，在 x＝v 处取极大值．1．函数 y＝x3－3x2－9x(－2