高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理互动课堂学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

2.1.2 演绎推理互动课堂疏导引导 “三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从 10 条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题. 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式. 演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：M—P(M 是 P) )()(PSPSMSMS是是 三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P. 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——结论. 例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提. 如图所示,在锐角△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E 是垂足.求证：AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等.分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, (大前提) 在△ABD 中,AD⊥BC,即∠ADB=90°, (小前提) 所以△ABD 是直角三角形. (结论) 同理,△AEB 也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， (大前提) 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线， (小前提) 所以 DM=AB21. (结论) 同理，EM=AB21，所以，DM=EM.案例 已知函数 f(x)=ax+12xx(a＞1).证明：函数 f(x)在(-1，+∞)上为增函数.【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定1义，即函数 y=f(x)满足：在给定区间内任取两个自变量 x1,x2，若 x1＜x2,则有 f(x1)＜f(x2),小前提是函数 f(x)=ax+12xx(a＞1) 在(-1，+∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：设-1＜x1＜x2,f(x2)-f(x1)=2xa+1222xx-1xa-1211xx=2xa-1xa+1222xx-1211xx=1xa(112 xxa)+)1)(1()1)(2()2)(1(122121xxxxxx =1xa(112...