第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列前 n 项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过等比数列前 n 项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养．2.借助等比数列前 n 项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养．1．等比数列前 n 项和的变式当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝，它可以变形为 Sn＝－·qn＋，设 A＝，上式可写成 Sn＝－ Aq n ＋ A ．由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数).思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn＝3n－1＋k，则实数 k 的取值是什么？[提示] 由题{an}是等比数列，∴3n的系数与常数项互为相反数，而 3n的系数为，∴k＝－.2．等比数列前 n 项和的性质性质一：若 Sn表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则① 在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，则＝q．②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思考：在等比数列{an}中，若 a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求 S6的值？[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.1．设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝ ．15 [法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二：因为 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，故所求代数式的值为＝15.]2．已知数列{an}为等比数列，且前 n 项和 S3＝3，S6＝27，则公比 q＝ ．2 [q3＝＝＝8，所以 q＝2.]3．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝an＋，则{an}的通项公式是 an＝ ．(－2)n－1 [当 n＝1 时，S1＝a1＋，所以 a1＝1.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，所以 an＝－2an－1，即＝－2，所以{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2，所以 an＝1×(－2)n－1，即 an＝(－2)n－1.]4．若等比数列{an}的公比为，且 a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}...
