高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案

第 1 课时 等比数列的前 n 项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题．1.通过等比数列前 n 项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.1．等比数列前 n 项和公式思考：类比等差数列前 n 项和是关于 n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和 Sn?[提示] 可把等比数列前 n 项和 Sn理解为关于 n 的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前 n 项和的方法一般地，等比数列{an}的前 n 项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比 q 乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前 n 项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.思考：等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示] 根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q，即＝q，进而可求 Sn.1．等比数列 1，x，x2，x3，…(x≠0)的前 n 项和 Sn为( )1A． B．C．D．C [当 x＝1 时，数列为常数列，又 a1＝1，所以 Sn＝n.当 x≠1 时，q＝x，Sn＝＝.]2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则 S5＝________．31 [S5＝＝＝31.]3．数列，，，，…的前 10 项的和 S10＝________． [S10＝＋＋＋…＋＋，则 S10＝＋＋…＋＋.两式相减得，S10＝＋＋＋…＋－＝－，所以 S10＝.]4．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年的产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为________．11(1.15 － 1)a [ 去 年 产 值 为 a ， 从 今 年 起 5 年 内 各 年 的 产 值 分 别 为1.1a，1.12a，1.13 a，1.14 a，1.15a.所以 1.1 a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.]等比数列基本量的运算【例 1】 在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.[解] (1)由题意知解得或从而 Sn＝×5n＋1－或 Sn＝.(2)法一：由题意知解得从而 S5＝＝.法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得 q3＝，从而 q＝.又 a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以 a1...