第 2 章 数列求数列的通项公式【例 1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前 n 项和，且 an＋＝2Sn，求 an.[解] 将 an＋＝2Sn变形为 a＋1＝2Snan.将 an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得 S－S＝1.由已知可求得 S1＝a1＝1.∴数列{S}是等差数列，公差为 1，首项为 1.∴S＝1＋(n－1)·1＝n. an>0，∴Sn>0.∴Sn＝.∴n≥2 时，an＝－.而 n＝1 时，a1＝1 也适合上式．∴数列{an}的通项公式为 an＝－，n∈N＋.11．定义法．直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．2．已知 Sn求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn与 an的关系，求数列{an}的通项 an可用公式 an＝求解．3．由递推公式求数列通项法．(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求 an.(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求 an.(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求 an.1．已知数列{an}中，a1＝1，且 an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．[解] 由 an＋1－an＝3n－n，得 an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两边分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，即 an－a1＝－.又 a1＝1，∴an＝×3n－－.显然 a1＝1 也适合上式，∴{an}的通项公式为 an＝×3n－－.等差、等比数列的判断【例 2】 已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a 为常数)，且 bn＝an·an＋1，其中 n＝1,2,3，….(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前 n 项和 Sn的公式；(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？[解] (1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以 a≠0，an＝an－1.又 bn＝an·an＋1，则 b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，即{bn}是以 a 为首项，a2为公比的等比数列．所以 Sn＝(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：2法一：设{bn}的公比为 q，则＝＝＝q，且 a≠0，又 a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以 1 为首项，q 为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以 a...
