第 2 课时 等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.在等差数列{an}中，存在很多的性质，如(1)若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap.(3)若 l1，l2，l3，l4…ln成等差数列，则 al1，al2，al3，al4，…aln也成等差数列．那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1q n － 1 ，an＝am· q n － m (m，n∈N*)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为 ak＋1，公比为 q；若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为 ak，公比为 q k .思考：如何推导 an＝amqn－m?[提示] 由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap· a q.① 特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积． ( )(2)在等比数列{an}中，q＞1 时是递增数列．( )(3)若数列{an}是等比数列，那么，{a}，{|an|}都是等比数列．( )[提示] (2)q＞1，a1＜0 时，数列{an}是递减数列．(3)若{an}的公比为 q，则，{a}，{|an|}的公比分别为，q2，|q|.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．(教材 P31T5改编)已知数列{an}是等比数列，下列说法错误的是( )A．a3，a5，a7成等比数列B．a1，a3，a9成等比数列C．an，an＋1，an＋2成等比数列D．n＞3 时，an－3，an，an＋3成等比数列B [在等比数列中，若 m＋n＝2p，则 aman＝a，即 am，ap，an成等比数列，所以 ACD 正确，B 错误，故选 B.]3．在等比数列{an}中，已...
