高中数学 第4章 数列 4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式学案（含解析）新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二第二册数学学案

4.3.2 等比数列的前 n 项和公式第 1 课时 等比数列的前 n 项和公式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用.(重点)2.会用错位相减法求数列的和.(重点)3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前 n 项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.甲、乙二人约定在一个月(按 30 天)内甲每天给乙 100 元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍．问谁赢谁亏？1．等比数列前 n 项和公式思考：类比等差数列前 n 项和是关于 n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前 n 项和 Sn?[提示] 可把等比数列前 n 项和 Sn理解为关于 n 的指数型函数．2．错位相减法一般地，等比数列{an}的前 n 项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比 q 乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前 n 项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn＝来求．( )(2)等比数列的前 n 项和公式可以简写成 Sn＝－Aqn＋A(q≠1)．( )(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝．( )[提示] (1)和(3)中应注意 q＝1 的情况．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则＝( )A．3 B．4 C． D．C [已知等比数列{an}的首项为 a1，则＝＝.]3．若首项为 1 的等比数列{an}的前 3 项和为 3，则公比 q 为( )A．－2B．1C．－2 或 1D．2 或－1C [当 q＝1 时，S3＝3a1＝3，符合题意；当 q≠1 时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得 q＝－2.]4．已知等比数列的首项为－1，前 n 项和为 Sn，若 q＝－，则＝________. [ q＝－≠1，∴＝·＝1＋q5＝1＋5＝1－＝.]5．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年的产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为________．11(1.15 － 1)a [ 去 年 产 值 为 a ， 从 今 年 起 5 年 内 各 年 的 产 值 分 别 为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以 1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.]...