2.2.1 综合法和分析法课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例 1】如右图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,求证:PC⊥BD. 证明：(综合法)因为 PA 是平面 ABCD 的垂线,PC 是平面 ABCD 的斜线,连结 AC、BD,则 AC 是 PC 在底面 ABCD 内的射影.又因为四边形 ABCD 为正方形.∴AC⊥BD. 故 PC⊥BD. 温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有 AB、AD、AP 两两垂直的基向量)等等.一般地,对于命题“若 A 则 D”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图).综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从 A 推演达到 D 的途径，但由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B、B1、B2等，可由 B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等 .最终,能有一个(或多个)可推演出结论 D 即可.类题演练 1用综合法证明,设 a＞0,b＞0,a≠b.证明:2ba ＞ab .证明：综合法因为 a≠b，所以 a-b≠0，而（a-b）2＞0，展开（a-b）2得：a2-2ab+b2＞0.两边加上 4ab 得：a2+2ab+b2＞4ab.左边写成（a+b）2得：（a+b）2＞4ab.由于 a＞0,b＞0,两边取算术平方根得：1a+b＞2ab .两边除以 2 得：abba2.变式提升 1已知 a＞b＞0,求证:ba ＜ba .证明： a＞b＞0，∴b＜ab ,即 2b＜2ab .进而-2ab ＜-2b,于是 a-2ab +b＜a+b-2b,即 0＜(ba )2＜a-b,∴baba.二、利用分析法证明数学问题【例 2】求证:72223.证法一：为了证明72223, 072,0223,∴只需证明 (223 )2＜(2+7 )2,展开得 11+64＜11+74,只需证64＜74,只需证 6＜7.显然 6＜7 成立.∴72223成立.证法二:为了证明72223,只要证明32722,只要证明3217221. 37,222,∴.032722∴3217221成立.∴72223成立.温馨提示2用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对于命题“若 A 则 D”)如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从 D 上溯寻其论据,如 C、C1、C2等,再寻求 C、C1、C2的论据,如 B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求 B、B1、B2、B3、B4的论据,如果其中之一 B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.类题演练 2已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0＜x＜1.求证:logx2ba +logx2cb +logx2ca ＜...
