1 综合法和分析法课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例 1】如右图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,求证:PC⊥BD
证明：(综合法)因为 PA 是平面 ABCD 的垂线,PC 是平面 ABCD 的斜线,连结 AC、BD,则 AC 是 PC 在底面 ABCD 内的射影
又因为四边形 ABCD 为正方形
∴AC⊥BD
故 PC⊥BD
温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有 AB、AD、AP 两两垂直的基向量)等等
一般地,对于命题“若 A 则 D”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图)
综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从 A 推演达到 D 的途径，但由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B、B1、B2等，可由 B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等
最终,能有一个(或多个)可推演出结论 D 即可
类题演练 1用综合法证明,设 a＞0,b＞0,a≠b
证明:2ba ＞ab
证明：综合法因为 a≠b，所以 a-b≠0，而（a-b）2＞0，展开（a-b）2得：a2-2ab+b2＞0
两边加上 4ab 得：a2+2ab+b2＞4ab
左边写成（a+b）2得：（a+b）2＞4ab
由于 a＞0,b＞0,两边取算术平方根得：1a+b＞2ab
两边除以 2 得：abba2
变式提升 1已知 a＞b＞0,求证:ba ＜ba
证明： a＞b＞0，∴b＜ab ,即 2b＜2ab
进而-2ab ＜-2b,于是 a-2ab +b＜a+b-2b,即 0＜(ba )2＜a-b,∴baba
二、利用分析法证明数学问题【例 2】求证:72223
