4.4* 数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养.我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏(可以说明没有歧视妇女的意思)，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有 32 代孙，你能确定他的 32 代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第 n 代孙姓王能推出第 n＋1 代孙也姓王，当然还要求第 1 个人必须姓王了．思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当 n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．这种证明方法称为数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步 n0的初始值是否一定为 1?[提示] 不一定．如证明 n 边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值 n0＝3.2．数学归纳法的框图表示1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可．( )(2)数学归纳法证明 3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证 n＝3．( )(3)设 Sk＝＋＋＋…＋，则 Sk＋1＝＋＋＋…＋．( )[提示] (1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.[答案] (1)× (2)√ (3)×2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算所得的项是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3C [当 n＝1 时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故 C 正确．]3．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )A．(2k＋1)＋(2k＋2)B．(2k－1)＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3)D．(2k＋2)＋(2k＋4)C [当 n＝k 时，左边是共有 2k＋1 个连续自然数相加，即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当 n＝k＋1 时，左边共有 2k＋3 ...
