函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]求函数的定义域与值域【例 1】 (1)求函数 y＝＋－的定义域；(2)若定义运算 a⊕b＝则函数 f(x)＝(x＋2)⊕x2的值域为________．[解] (1)解不等式组得故函数的定义域是{x|1≤x≤5 且 x≠3}．(2)法一：令 x＋2＜x2，得 x＜－1 或 x＞2，令 x＋2≥x2，得－1≤x≤2.故 f(x)＝当 x＜－1 或 x＞2 时，f(x)＞1当－1≤x≤2 时，1≤f(x)≤4. (1，＋∞)∪[1，4]＝[1，＋∞)，∴函数 f(x)的值域为[1，＋∞).法二：由新定义知 f(x)的图像如图，由图像可知 f(x)的最小值为 1，无最大值．故 f(x)的值域为[1，＋∞).求函数的定义域和值域是考试中常见的题型．求函数的定义域时，注意将自变量 x 要满足的条件一一列出，不要遗漏；函数的值域就是所有函数值的集合，它由函数的定义域和函数的对应关系确定，所以不论用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法．1．函数 y＝的定义域是________．[－1，7] [要使函数有意义，需 7＋6x－x2≥0，即 x2－6x－7≤0，得(x＋1)(x－7)≤0，解得－1≤x≤7，故所求函数的定义域为[－1，7].]求函数的解析式【例 2】 (1)函数 f(x)在 R 上为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝＋1，则 f(x)的解析式为________；(2)已知 f＝＋，则 f(x)的解析式为________．(1)f(x)＝(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设 x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1. f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝(2)令 t＝＝＋1，则 t≠1.把 x＝代入 f＝＋，得 f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞).]求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含 f(x)与 f(－x)或 f(x)与 f，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．2．(1)已知 f(x)－3f(－x)＝2x－1，则 f(x)＝________．(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当 x∈R 时，f(x)的图像关于直线 x＝－1 对称；② f(1)...
