4.2.3 直线与圆的方程的应用学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线与圆的位置关系的几何性质．(重点)2．会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题．(重点、难点)3．会用数形结合的数学思想解决问题．通过学习直线与圆的方程的应用，提升数学建模、直观想象、数学运算的数学素养.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”1．一涵洞的横截面是半径为 5 m 的半圆，则该半圆的方程是( )A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化D [在不同坐标系下，方程也不同．]2．已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元素个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1 C [圆 x2＋y2＝1 的圆心(0，0)到直线 x＋y＝1 的距离 d＝＝<1，所以直线 x＋y＝1 与圆x2＋y2＝1 相交．故选 C.]3．已知点 A(3，0)及圆 x2＋y2＝4，则圆上一点 P 到点 A 距离的最大值和最小值分别是________．5, 1 [圆的半径为 2，圆心到点 A 的距离为 3，结合图形可知，圆上一点 P 到点 A 距离的最大值是 3＋2＝5，最小值是 3－2＝1.] 直线与圆的方程的实际应用问题[探究问题]1．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4 表示，村外一小路方程可用 x－y＋2＝0 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[提示] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋2＝0 的距离减去圆的半径 2，即－2＝－2.2．已知台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求 B 城市处于危险区内的时间．[提示] 如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．射线 AC 为∠xAy 的平分线，则台风中心在射线 AC 上移动．则点 B 到 AC 的距离为 20 千米，则射线 AC 被以 B 为圆心，以 30 千米为半径的圆截得的弦长为 2＝20(千米)．所以 B 城市处于危险区内的时间为 t＝＝1(小时)．【例 1】 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公...
