2.2.2 间接证明[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．2．反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．3．反证法步骤反证法的过程包括下面 3 个步骤：反设，归谬，存真．4．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．5．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有( n － 1) 个至少有(n＋1)个结论词只有一个对所有 x 成立对任意 x 不成立反设词没有或至少有两个存在某个 x不成立存在某个 x 成立结论词都是一定是p 或 qp 且 q反设词不都是不一定是綈 p 且綈 q綈 p 或綈 q要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题例 1 已知 x，y>0，且 x＋y>2.求证：，中至少有一个小于 2.证明 假设，都不小于 2，即≥2，≥2. x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾．∴，中至少有一个小于 2.规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练 1 已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数．证明 假设 a，b，c，d 都是非负数， a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又 (a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1.这与已知 ac＋bd>1 矛盾，∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．要点...
