第 4 章 圆与方程求圆的方程【例 1】 求圆心在圆＋y2＝2 上，且与 x 轴和直线 x＝－都相切的圆的方程．[解] 设圆心坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆＋y2＝2 在直线 x＝－的右侧，且所求的圆与 x 轴和直线 x＝－都相切，所以 a＞－.所以 r＝a＋，r＝|b|.又圆心(a，b)在圆＋y2＝2 上，所以＋b2＝2，联立解得所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，或＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得 a, b, r(或 D, E, F)的方程(组)．(3)解出 a, b, r(或 D, E, F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且与直线 4x＋3y－29＝0 相切，求圆的方程．[解] 设圆心为 M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5，所以＝5，即|4m－29|＝25，因为 m 为整数，故 m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系【例 2】 已知直线 l：2mx－y－8m－3＝0 和圆 C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R 时，证明 l 与 C 总相交；(2)m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短，求此弦长．[解] (1)直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点 P(4, －3)．由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．(2)如图，当圆心 C(3, －6)到直线 l 的距离最大时，线段 AB 的长度最短．此时 PC⊥l，所以直线 l 的斜率为－，所以 m＝－.在△APC 中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，所以|AP|＝，所以|AB|＝2，即最短弦长为 2.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆 C 关于直线 x＋y＋2＝0 对称，且过点 P(－2, 2)和原点 O.(1)求圆 C 的方程；(2)相互垂直的两条直线 l1，l2都过点 A(－1, 0)，若 l1，l2被圆 C 所截得弦长相等，求此时直线 l1的方程．[解] (1)由题意知，直线 x＋y＋2＝0 过圆 C 的圆心，设圆心 C(a, －a－2)．由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得 a＝－2.因为圆心 C(－2，0)，半径 r＝2，所以圆 C 的...
