第 3 节 数学归纳法一、学习目标：了解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。 二、重点、难点能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。三、考点分析：数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视。数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视。只要与自然数有关，都可考虑使用数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些。一、数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当 n＝n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当 n＝k（k∈N*， k≥n0）时命题成立，再证明当 n＝k＋1 时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。二、数学归纳法的应用：（1）证恒等式；（2）整除性的证明；（3）探求平面几何中的问题；（4）探求数列的通项；（5）不等式的证明。特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。例 1 已知，则的值为（ ）A. ＋ B. ＋＋C. - D. ＋-思路分析：是从 n＋1 开始的 n 个连续自然数的倒数和，故是从 n＋2 开始的 n＋1 个连续自然数的倒数和，即＝＝＝＋＋-＝＋- 故选 D。解题后反思：用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。例 2 用数学归纳法证明等。思路分析：和自然数有关的命题的证明可以选用数学归纳法。证明：（1）当 n＝1 时，左边＝＝右边，等式成立 （2）假设当 n＝k 时等式成立，即 则，当 n＝k＋1 时，等式也成立，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立解题后反思：（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。例 3 在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，an,Sn,Sn－成等比数列。（1）求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论。思路分析：本题考查了数列、数学归纳法，可以依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤，采用的方法是归纳、猜想、证明。求通项可先证明{}是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式 解题过程： an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2＝an·（Sn－）（n≥2） （*）（1）由 a1＝1,S2＝a1＋a2＝1＋a2,代入（*）式得 a2＝－由 a1＝1，a2＝－,S3...
