高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义与标准方程学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

2．1.1 椭圆的定义与标准方程 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的定义平面上到两个定点 F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝ 1( a > b >0) ＋＝ 1( a > b >0) 焦点(± c ， 0 ) (0 ， ± c ) a、b、c的关系c2＝a2－b21．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( )(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2＝b2＋c2.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．设 P 是椭圆＋＝1 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A．4 B．5C．8 D．10答案：D3．已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1答案：C4．椭圆＋＝1 的焦点坐标是________．答案：(0，±12) 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)．【解】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．所以 2a＝＋＝10，1所以 a＝5.又 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以⇒故所求椭圆的方程为＋x2＝1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要注意 a＞b＞0 这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式有 两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程． 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)...